New algorithms to compute the strength of a graph

We investigate the problem of computing the strength of a graph. We describe in this article the first polyhedral formulation for the weighted strength in polynomial size of the problem, that isO(mn), where n is the number of vertices andm the number of edges. Moreover, we describe a surprisingly simple FPTAS that gives the strength within 1+ ǫ in time O(m log(n) log(mn )/ǫ ) and space O(m), outperforming by a factor of roughly min(n √ m,n) the best known exact algorithm of Trubin associated with the Goldberg and Rao maxflow algorithm for that problem, and of roughly σ(G) the FPTAS of Plotkin, Shmoys, and Tardos. Key-words: strength of a graph, matroid, partition, connectivity, community detection, small-world. ∗ Orange Labs in ria -0 03 05 56 0, v er si on 2 29 J ul 2 00 8 Nouveaux algorithmes pour le calcul de la force des graphes Résumé : Nous nous penchons sur le problème du calcul de la force d’un graphe. Nous décrivons la premième formulation polyhédrale pour le calcul de la force pondérée d’un graphe de taille polynomiale en la taille du problème, à savoir O(mn), où n est le nombre de sommets et m le nombre d’arètes du graphe. Nous décrivons aussi un FPTAS surprenamment simple qui donne la force d’un graphe à un facteur 1 + ǫ près en temps O(m log(n) log(mn )/ǫ ) et en espace O(m), dépassant d’un facteur d’environ min(n √ m,n) le meilleur algortihme connu de Trubin associé à l’algorithme postérieur de Goldberg and Rao pour le flot maximum et d’environ σ(G) le FPTAS de Plotkin, Shmoys, et Tardos. Mots-clés : force d’un graphe, matröıde, partition, connectivité, détection de communauté, graphe petit-monde in ria -0 03 05 56 0, v er si on 2 29 J ul 2 00 8 Strength of a graph 3